Resolução de um sistema de duas equações não lineares

Uma solução de 

\left\{ \begin{array}{c}2r^{2}xy^{2}-4x^{3}y^{2}-2xy^{4}=0 \\ 2r^{2}x^{2}y-4x^{2}y^{3}-2x^{4}y=0\end{array}\right.

é

x^{2}=y^{2}=\dfrac{r^{2}}{3}.

De facto

\left\{ \begin{array}{c}2r^{2}xy^{2}-4x^{3}y^{2}-2xy^{4}=0 \\ 2r^{2}x^{2}y-4x^{2}y^{3}-2x^{4}y=0\end{array}\right.

\iff\left\{ \begin{array}{c}r^{2}y^{2}-2x^{2}y^{2}-y^{4}=0 \\ r^{2}x^{2}-2x^{2}y^{2}-x^{4}=0\end{array}\right.

\iff\left\{ \begin{array}{c}r^{2}y^{2}-y^{4}=2x^{2}y^{2} \\ r^{2}x^{2}-2x^{2}y^{2}-x^{4}=0\end{array}\right.\iff\left\{ \begin{array}{c}r^{2}y^{2}-y^{4}=2x^{2}y^{2} \\ r^{2}x^{2}-r^{2}y^{2}+y^{4}-x^{4}=0\end{array}\right.

\iff\left\{ \begin{array}{c}r^{2}y^{2}-y^{4}=2x^{2}y^{2} \\ \left( r^{2}-x^{2}\right) x^{2}+\left( y^{2}-r^{2}\right) y^{2}=0\end{array}\right.\iff\left\{ \begin{array}{c}r^{2}y^{2}-y^{4}=2x^{2}y^{2} \\ \left( r^{2}-x^{2}\right) x^{2}=\left( r^{2}-y^{2}\right) y^{2}\end{array}\right.

\iff\left\{ \begin{array}{c}r^{2}y^{2}-y^{4}=2x^{2}y^{2} \\ x\sqrt{r^{2}-x^{2}}=y\sqrt{r^{2}-y^{2}}\end{array}\right.\iff\left\{ \begin{array}{c}r^{2}y^{2}-y^{4}=2x^{2}y^{2} \\ x=y\end{array}\right.

\iff\left\{ \begin{array}{c}r^{2}x^{2}-x^{4}=2x^{2}x^{2} \\ x=y\end{array}\right.\iff\left\{ \begin{array}{c}r^{2}x^{2}=3x^{4} \\ x=y\end{array}\right.\iff\left\{ \begin{array}{c}r^{2}=3x^{2} \\ x=y\end{array}\right.

\iff\left\{ \begin{array}{c}x^{2}=\dfrac{r^{2}}{3} \\ x=y\end{array}\right.

\iff\left\{ \begin{array}{c}x^{2}=\dfrac{r^{2}}{3} \\ y^{2}=\dfrac{r^{2}}{3}\end{array}\right.

Resolução de um sistema de duas equações não lineares

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