Polinómios de Chebyshev (ou Tchebycheff): definições equivalentes

Mostre que as duas definições seguintes dos polinómios de Chebyshev são equivalentes.

A – O polinómio de Chebyshev T_n(x) de ordem n\ge 0 verifica a relação de recorrência

T_0(x)=1, T_1(x)=x,

T_{n+1}=2xT_n(x)-T_{n-1}(x) para n>0.

B – Para todo o inteiro n\ge 0 o polinómio de Chebyshev é dado por

T_n(x)=\cos (n\arccos x)

Polinómios de Chebyshev (ou Tchebycheff): definições equivalentes

3 pensamentos sobre “Polinómios de Chebyshev (ou Tchebycheff): definições equivalentes

  1. Paulo Lino diz:

    De fato, mostraremos que T_n(x) = cos(n arccosx) satisfaz a fórmula de recorrência.

    2xT_n(x) – T_(n-1)(x) = 2xcos(narccos x) – cos[(n-1)arccos x]
    = 2xcos(narccos x) – [cos(narccos x)cos(arccos x) + sen(narccos x)sen(arccos x)]
    = cos(arccos x)cos(narccos x) – sen(narccos x)sen(arccos x)
    = cos[(n+1)arccos x]
    = T_(n+1)(x)

    [ Colocado em 19.06.09 no meu blogue principal:
    http://problemasteoremas.wordpress.com/2009/06/04/definicoes-equivalentes-dos-polinomios-de-chebyshev/#comment-1038 ] A. Tavares

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