Identidade trigonométrica

\arctan\left( \dfrac{\cos\theta }{1+\sin \theta }\right) =\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi }{2}-\theta\right)

Justificação

Esta identidade é equivalente a

\tan\left( \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi}{2}-\theta\right) \right) =\dfrac{\cos\theta }{1+\sin \theta }

Fazendo a substituição

\alpha =\dfrac{\pi}{2}-\theta

tem-se

\dfrac{\cos\theta }{1+\sin \theta } =\dfrac{\sin\alpha }{1+\cos \alpha }

e a identidade que pretendemos demonstrar transforma-se em

\tan\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) =\dfrac{\sin\alpha }{1+\cos \alpha }

Mas

\sin\alpha=2\sin\left(\dfrac{a}{2}\right) \cdot\cos\left(\dfrac{a}{2}\right)

e

1+\cos\alpha=1+\cos^2\left(\dfrac{a}{2}\right) -\sin^2\left(\dfrac{a}{2}\right) =2\cos^2\left(\dfrac{a}{2}\right) .

Logo, de facto

\dfrac{\sin\alpha }{1+\cos \alpha }=\dfrac{2\sin\left(\dfrac{a}{2}\right) \cdot\cos\left(\dfrac{a}{2}\right)}{2\cos^2\left(\dfrac{a}{2}\right) }=\tan\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)

Identidade trigonométrica

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