2^33+3^33

Provar que a soma de 2 elevado a 33 com 3 elevado a 33  é  um número composto.

Se a\equiv b\quad \left( \text{mod }m\right) , então a^{n}\equiv b^{n}\quad\left( \text{mod }m\right) . Esta propriedade aplicada a 2^{n} dá em geral, para n=4k+s,1\leq s\leq 3,0\leq k

2^{n}\equiv 2^{s}\quad\left( \text{mod }5\right) ,\quad (1)

o que significa que os restos da divisão de  2^{n} por 5 formam uma sucessão periódica de comprimento 4 com início em n=1

\overset{\text{per\'{\i}odo}}{\overbrace{2,4,3,1}},\overset{4\text{ termos}}{\overbrace{2,4,3,1}},\ldots .

Aplicada a 3^{n} (n=4k+s,1\leq s\leq 3,0\leq k) dá

3^{n}\equiv 3^{s}\quad\left( \text{mod }5\right) ,\quad (2)

o que significa que os restos da divisão de  3^{n} por 5 formam uma sucessão periódica de comprimento 4 com início em n=1

\overset{\text{per\'{\i}odo}}{\overbrace{3,4,2,1}},\overset{4\text{ termos}}{\overbrace{3,4,2,1}},\ldots .

Se a\equiv b\quad \left( \text{mod }m\right) e c\equiv d\quad \left( \text{mod }m\right) , então a-c\equiv b-d\quad \left( \text{mod }m\right) . Em consequência de (1) e (2) obtemos 2^n+3^n\equiv 2^{s}+2^{s}\quad \left( \text{mod }5\right) .\quad (3)

Os restos da divisão de  2^n+3^n por 5 formam outra sucessão periódica de comprimento 4 que se inicia também em n=1

\overset{\text{per\'{\i}odo}}{\overbrace{0,3,0,2}},\overset{4\text{ termos}}{\overbrace{0,3,0,2}},\ldots . 

Logo para n ímpar, 2^n+3^n\equiv 2^{s}+2^{s} é divisível por 5, pelo que  2^{33}+3^{33} não é primo.

2^33+3^33

2 pensamentos sobre “2^33+3^33

  1. Hi
    Thanks!
    This blog is only an aid for the edition of posts and comments.
    In this case there is an entry in my main blog concerning this exercise.
    When we know some general properties as is your case it is much easier to get
    the shortest answer, I think.
    I will post here

    http://problemasteoremas.wordpress.com/2009/01/20/2-elevado-a-33-mais-3-elevado-a-33-e-um-numero-composto/

    your excellent idea!

    Or if you don’t mind repeating there your comment, even better!!

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