Equação trigonométrica

Resolva a seguinte equação:

\tan \left( \dfrac{2\pi }{3}\right) \times \tan \left( 3x\right) -1=0

Respostax=\dfrac{1}{3}k\pi -\dfrac{1}{18}\pi com k\in\mathbb{Z}

Resolução:

Como

 \tan \left( \dfrac{2\pi }{3}\right) =\dfrac{\sin\left( \dfrac{2\pi }{3}\right) }{\cos\left( \dfrac{2\pi }{3}\right) }=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{-1}{2}}=-\sqrt{3}

a equação vem

-\sqrt{3}\tan \left( 3x\right)=1

ou

\tan \left( 3x\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

o que significa que

3x=k\pi-\dfrac{\pi}{6}

porque

\tan \left( -\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

como se pode verificar, e a função trigonométrica tangente é periódica de período \pi, donde

x= \dfrac{k\pi}{3} -\dfrac{\pi}{18}

com k inteiro arbitrário.

Equação trigonométrica

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