Resolução de um problema

1. Quais são os dois números que somados dão 20 e multiplicados, 75?

2. A soma de dois números a e b é s e o seu produto p. Determine os números e justifique.

Resolução

1. Designando os dois números que pretendemos achar por x,y, sabemos que x+y=20 e que xy=75. Ou seja, como y=20-x

x(20-x)=75\Leftrightarrow 20x-x^2=75\Leftrightarrow x^2-20x+75=0.

As duas soluções desta equação são

x_1=\dfrac{20+\sqrt{20^2-300}}{2} =\dfrac{20+10}{2}=15

x_2=\dfrac{20-\sqrt{20^2-300}}{2} =\dfrac{20-10}{2}=5

a que correspondem, respectivamente, y_1=20-15=5 e y_2=20-5=15. Os números procurados são, então, o 15 e o 5.

2. Este mesmo método aplicado agora a este caso geral, traduz-se em:

a+b=s e que ab=p. Ou seja, como b=s-a

a(s-a)=p\Leftrightarrow sa-a^2=p\Leftrightarrow a^2-sa+p=0.

As duas soluções desta equação são

a_1=\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}

a_2=\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}

a que correspondem, respectivamente, b_1=s-a_1 e b_2=s-a_2. Mas,

b_1=s-a_1=s-\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}=\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}=a_2

e

b_2=s-a_2=s-\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}=\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}=a_1.

Por este motivo, os números que satisfazem o enunciado são

\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}

 e

 \dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}.

 

 

 

 

 

 

 

Resolução de um problema

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