12º ano – Exame 2ª Fase – Questão 2.1 do Grupo II

Questão 2.1 do Grupo II

2.1 Seja \Omega o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis (A\subset \Omega e B\subset \Omega ).

Prove que: P(\overline{A}\cup \overline{B})=P(\overline{A})-P(B)+P(A\cup B)

(P designa a probabilidade, $\overline{A}$ o acontecimento contrário de A e \overline{B} o acontecimento contrário de B.)

Resolução 

Como

P(\overline{A\cap B})+P(A\cap B)=1

e

\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}

então

P(\overline{A}\cup \overline{B})+P(A\cap B)=1

ou

P(\overline{A}\cup \overline{B})=1-P(A\cap B).

De

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

resulta

P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).

Combinando com P(A)+P(\overline{A})=1 vem

P(\overline{A}\cup \overline{B})=1-P(A)-P(B)+P(A\cup B)

P(\overline{A}\cup \overline{B})=P(A)+P(\overline{A})-P(A)-P(B)+P(A\cup B)=P(A)-P(B)+P(A\cup B)

provando assim o que é pedido.

12º ano – Exame 2ª Fase – Questão 2.1 do Grupo II

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