Identidade complexa

Dados dois complexos z e w, verifica-se

|z-w|^2=(z-w)\overline{(z-w)}=|z|^2+|w|^2-z\overline{w}-\overline{z}w.

    z=x+iy

   w=u+iv

    z-w=x+iy-(u+iv)= x-iv-u+iy=(x-u)+i(y-v)

    \overline{z-w}=\overline{z}-\overline{w}=x-iy-(u-iv)= iv-u+x-iy

   (x-iv-u+iy)(iv-u+x-iy)= u^2-2vy-2ux+v^2+x^2+y^2

    |(x-u)+i(y-v)|^2=(x-u)^2+(y-v)^2= u^2-2vy-2ux+v^2+x^2+y^2

    |z|^2=|x+iy|^2=x^2+y^2

    |w|^2=|u+iv|^2=u^2+v^2

    z\overline{w}=(x+iy)(u-iv)= ux+iuy-ivx+vy

    \overline{z}w=(x-iy)(u+iv)= ux-iuy+ivx+vy

    -(ux+iuy-ivx+vy)-(ux-iuy+ivx+vy)= -2ux-2vy

Identidade complexa

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