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Outubro 14, 2008

Editor de Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

Arquivado em: Escrita Matemática — Américo Tavares @ 5:06 pm

problemasteroremasout20081

Limite da raiz de índice n do termo geral de uma sucessão

Se o termo geral de uma sucessão for constante ( $u_{n}=c$ ), a sucessão tende para para essa constante, como muito bem se sabe. Neste caso a razão $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=1$ . E qual é o limite de $\sqrt[n]{u_{n}}=\sqrt[n]{c}$ quando $c>0$ ? É bem conhecido (por exemplo ([1,2]) que é também 1:

$\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c}{c}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{c}=1$ .

Considere agora o leitor que $u_{n}=c^{n}$ , com $c>0.$ Como $\sqrt[n]{c^{n}}=c$ claro que $\lim \sqrt[n]{u_{n}}=c.$ Por outro lado, sendo neste caso $\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{c^{n+1}}{c^{n}}=c,$ verifica-se igualmente a igualdade

$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}$ .

Exemplo: em mais um caso concreto, seja agora $u_{n}=n^{2}.$ Vou determinar $\lim \sqrt[n]{n^{2}}$ por um método adaptado de Curso de Matemáticas Gerais de Campos Ferreira [1]. Temos $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n^{2}}\rightarrow 1.$ Então, qualquer que seja $\delta >0$ existe um $N$ tal que, para todo o $n\geq N$ , se verifica $1-\delta <\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n^{2}}<1+\delta$ e, portanto,

$1-\delta <\dfrac{\left( N+k+1\right) ^{2}}{\left( N+k\right) ^{2}}<1+\delta\qquad k=0,1,2,\ldots n-N-1.$

Multiplicando estas $n-N$ duplas desigualdades vem, sucessivamente

$\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\left( 1-\delta \right) <\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\dfrac{\left( N+k+1\right) ^{2}}{\left( N+k\right) ^{2}}<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\left( 1+\delta \right)$

$\bigskip$
$\overset{n-N}{\overbrace{\left( 1-\delta \right) \cdots \left( 1-\delta\right) }}<\dfrac{\left( N+1\right) ^{2}}{N^{2}}\dfrac{\left( N+2\right) ^{2}}{\left( N+1\right) ^{2}}\cdots \dfrac{n^{2}}{\left( n-1\right) ^{2}}<\overset{n-N}{\overbrace{\left( 1+\delta \right) \cdots \left( 1+\delta \right) }}$

$\bigskip$

$\left( 1-\delta \right) ^{n}\left( 1-\delta \right) ^{-N}=\left( 1-\delta\right) ^{n-N}<\dfrac{n^{2}}{N^{2}}<\left( 1+\delta \right) ^{n-N}=\left( 1+\delta \right) ^{n}\left( 1+\delta \right) ^{-N},$

$\bigskip$

pelo que

$\left( 1-\delta\right) ^{n}\left( 1-\delta\right) ^{-N}n^{2}<n^{2}$ $<\left( 1+\delta\right) ^{n}\left( 1+\delta\right) ^{-N}n^{2}$

e, extraindo agora a raiz de ordem $n$

$\left( 1-\delta\right) \sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}<\sqrt[n]{n^{2}}<\left( 1+\delta\right) \sqrt[n]{\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}}.$

Como $\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}$ e $\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}$ são independentes de $n$ , quando se faz tender $n$ para infinito, $\sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}\rightarrow 1$ e $\sqrt[n]{\left( 1+\delta\right) ^{-N}N^{2}}\rightarrow 1$ , ou seja, para $n$ suficientemente grande, isto é, a partir de uma dada ordem $N^{\prime }$

$1-\delta<\sqrt[n]{\left( 1-\delta\right) ^{-N}N^{2}}<1+\delta$

$\bigskip$

$1-\delta<\sqrt[n]{\left( 1+\delta\right) ^{-N}N^{2}}<1+\delta$ .

Assim

$( 1-\delta)(1-\delta)<(1-\delta)\sqrt[n]{(1-\delta)^{-N}N^{2}}<\sqrt[n]{n^{2}}$

$\bigskip$

$\sqrt[n]{n^{2}}<\left( 1+\delta \right) \sqrt[n]{\left( 1+\delta \right) ^{-N}N^{2}}<\left( 1+\delta \right) \left( 1+\delta\right) .$

Atendendo a que $\left( 1-\delta\right) \left( 1-\delta\right) =1-\left( \delta +\delta -\delta ^{2}\right)$ e $\left( 1+\delta \right) \left( 1+\delta\right) =1+\left( \delta +b\delta +\delta ^{2}\right)$ e também $\delta +\delta +\delta ^{2}>\delta +\delta -\delta ^{2}$ , se se escolher um número $\varepsilon >\delta +\delta +\delta ^{2}>\delta +\delta -\delta ^{2}$ tem-se $1-\varepsilon <\sqrt[n]{n^{2}}<1+\varepsilon$ (para $n\geq \max \left\{ N^{\prime },N\right\}$ ), e, portanto, continua a ser

$\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \sqrt[n]{u_{n}}=1.\qquad\blacktriangleleft$

E será que em geral o limite da razão de um termo da sucessão $\left( u_{n}\right)$ em relação ao anterior é igual ao limite da raiz de ínndice $n$ de $u_{n}$ ? A resposta é afirmativa e uma possível demonstração é a de Carlos Sarrico, em Análise Matemática [2], que prova primeiro que se uma sucessão converge para $b$ , então as médias aritmética e geométrica dos seus $n$ primeiros termos convergem também para $b$ , e daí deduz a validade desse enunciado. A proposição seguinte trata precisamente do caso geral, seguindo a mesma estrutura de demonstração do exemplo anterior.

$\bigskip$

Proposição: Se, para todos os valores de $n$ , $u_{n}>0$ e se $\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=b$ , então $\lim\sqrt[n]{u_{n}}=b$ .

$\bigskip$

Demonstração (adaptada de [1]): Pretende-se provar que, qualquer que seja $\varepsilon <0,$ a desigualdade

$\left\vert \sqrt[n]{u_{n}}-b\right\vert <\varepsilon$

é verificada para todos os valores de $n,$ a partir de alguma ordem $M.$ Como, por hipótese, $\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=b$ , então, qualquer que seja $\delta >0$ existe um $N$ tal que, para todo o $n\geq N$ , se verifica $b-\delta <\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}<b+\delta$ e, portanto, para $k=0,1,2,\ldots n-N-1,$ tem-se

$b-\delta <\dfrac{u_{N+k+1}}{u_{N+k}}<b+\delta$ .

Multiplicando em $k$ estas $n-N$ duplas desigualdades vem, sucessivamente

$\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}(b-\delta )<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}\dfrac{u_N+k+1}{u_{N+k}}<\displaystyle\prod_{k=0}^{n-N-1}( b+\delta )$

$\bigskip$

$\overset{n-N}{\overbrace{(b-\delta )\cdots (b-\delta )}}<\dfrac{u_{N+1}}{u_{N}}\dfrac{u_{N+2}}{u_{N+1}}\cdots\dfrac{u_{n}}{u_{n-1}}<\overset{n-N}{\overbrace{(b+\delta )\cdots (b+\delta )}}$

$\bigskip$

$(b-\delta )^{n}(b-\delta )^{-N}=( b-\delta )^{n-N}<\dfrac{u_{n}}{u_{N}}<(b+\delta )^{n-N}=(b+\delta )^{n}(b+\delta )^{-N}.$

Daqui tira-se

$(b-\delta )^{n}(b-\delta )^{-N}u_{N}<u_{n}<(b+\delta )^{n}(b+\delta )^{-N}u_{N}$

e, extraindo a raiz de ordem $n$

$(b-\delta )\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<\sqrt[n]{u_{n}}<(b+\delta )\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}.$

Como $(b-\delta )^{-N}u_{N}$ e $(b+\delta )^{-N}u_{N}$ são independentes de $n$ , quando se faz tender $n$ para infinito, $\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}$ e $\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}$ tendem para 1, ou seja, existe um número $N^{\prime }$ , tal que para $n\geq N^{\prime }$

$1-\delta<\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<1+\delta$

$\bigskip$

$1-\delta<\sqrt[n]{(b+\delta )^{-N}u_{N}}<1+\delta$

pelo que se obtém o seguinte enquadramento:

$(1-\delta )( b-\delta )<( b-\delta )\sqrt[n]{(b-\delta )^{-N}u_{N}}<\sqrt[n]{u_{n}}$

$\bigskip$

$\sqrt[n]{u_{n}}<(b+\delta )\sqrt[n]{( b+\delta )^{-N}u_{N}}<(b+\delta )(1+\delta ) .$

Atendendo a que $(1-\delta )(b-\delta ) =b-(\delta +b\delta -\delta ^{2})$ e $(b+\delta )(1+\delta )=b+(\delta +b\delta +\delta ^{2})$ e também $\delta +b\delta +\delta ^{2}>\delta +b\delta -\delta ^{2}$ , vê-se que tomando $\varepsilon >\delta +b\delta +\delta ^{2}$ se tem efectivamente $b-\varepsilon<\sqrt[n]{u_{n}}<b+\varepsilon$ (para $n\geq M=\max \left\{N^{\prime },N\right\}$ ), o que demonstra a proposição. $\qquad\blacksquare$

$\bigskip$

Exercícios de aplicação: determine $\lim \sqrt[n]{u_{n}}$ , em que

1. $u_{n}=\sqrt[n]{1+\dfrac{1}{n}}$

2. $u_{n}=\sqrt[n]{\left( n+1\right) !-n!}$

3. $u_{n}=\sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}$ em que $0<a\leq b$

Resolução

1. $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{n\left( n+2\right) }\rightarrow 1;$ e $\sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow 1$

2. $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\left( n+2\right) !-\left( n+1\right) !}{\left( n+1\right) !-n!}=\dfrac{\left( n+2\right) \left( n+1\right) -\left( n+1\right) }{\left( n+1\right) -1}\rightarrow +\infty ;$ e $\sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow +\infty$

3. $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}=\dfrac{\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}+b}{\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}+1};$ logo

$\lim \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim \dfrac{\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}+b}{\left( \frac{a}{b}\right) ^{n}+1}=\dfrac{0+b}{0+1}=b;e\sqrt[n]{u_{n}}\rightarrow b.$

$\bigskip$

Problema 1

Sabendo que a sucessão $\left( u_{n}\right)$ verifica a relação de recorrência

$u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0.$

determine $\lim \sqrt[n]{u_{n}}.$

$\bigskip$

Resolução

A relação de recorrênncia acima é de segunda ordem, linear e de coeficientes constantes, dizendo-se ainda homogénea pelo segundo membro ser nulo. A teoria das equações às diferenças diz-nos que o termo geral da sucessão $\left( u_{n}\right)$ é da forma

$u_{n}=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}$

em que $\alpha ,\beta$ são as raizes da equação caracterísstica

$X^{2}-34X+1=0.$

Verificação: por substituição vê-se que $u_{n}=\alpha ^{n}$ é solução de $u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0.$ De facto,

$\alpha ^{n}-34\alpha ^{n-1}+\alpha ^{n-2}=0$

é equivalente a $\alpha ^{n-2}\left( \alpha ^{2}-34\alpha +1\right) =0.$
Analogamente $u_{n}=\beta ^{n}$ é outra solução, pois de

$\beta ^{n}-34\beta ^{n-1}+\beta ^{n-2}=0$

resulta $\beta ^{n-2}\left( \beta ^{2}-34\beta +1\right) =0.$ Sendo $\alpha ,\beta$ raizes da equação característica, a relação de recorrência é verificada. Como a expressão $A\alpha^{n}+B\beta^{n}$ é uma combinação linear de $\alpha ^{n}$ e $\beta ^{n}$ , facilmente se conclui que também verifica a recorrência $u_{n}-34u_{n-1}+u_{n-2}=0.$

Resolvendo a equação característica, vem

$\alpha=\dfrac{34+\sqrt{34^{2}-4}}{2}=17+12\sqrt{2}>1$

$\beta=\dfrac{34-\sqrt{34^{2}-4}}{2}=17-12\sqrt{2}=\alpha ^{-1}<1$

e o termo geral

$u_{n}=A\alpha ^{n}+B\beta ^{n}=A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}.$

Como $\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}\rightarrow 0$ , o comportamento de $u_{n}$ para $n$ suficientemente grande é dominado por $\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}$ e a razão

$\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n+1}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n+1}}{A\left( 17+12\sqrt{2}\right) ^{n}+B\left( 17-12\sqrt{2}\right) ^{n}}$
tende por esse motivo para $17+12\sqrt{2}.\qquad \blacktriangleleft$

$\bigskip$

Referências
[1] FERREIRA, Jaime Campos, Curso de Matemáticas Gerais, IST, Ed. Secção de Folhas da AEIST, 1968-69.

[2] SARRICO, Carlos, Análise Matemática, Leituras e exercícios, 3ª. ed., Gradiva, Lisboa, 1999.

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Junho 8, 2008

Identidade complexa

Arquivado em: Escrita Matemática — Américo Tavares @ 9:16 pm

Dados dois complexos $z$ e $w$ , verifica-se

$|z-w|^2=(z-w)\overline{(z-w)}=|z|^2+|w|^2-z\overline{w}-\overline{z}w$ .

$z=x+iy$

$w=u+iv$

$z-w=x+iy-(u+iv)= x-iv-u+iy=(x-u)+i(y-v)$

$\overline{z-w}=\overline{z}-\overline{w}=x-iy-(u-iv)= iv-u+x-iy$

$(x-iv-u+iy)(iv-u+x-iy)= u^2-2vy-2ux+v^2+x^2+y^2$

$|(x-u)+i(y-v)|^2=(x-u)^2+(y-v)^2= u^2-2vy-2ux+v^2+x^2+y^2$

$|z|^2=|x+iy|^2=x^2+y^2$

$|w|^2=|u+iv|^2=u^2+v^2$

$z\overline{w}=(x+iy)(u-iv)= ux+iuy-ivx+vy$

$\overline{z}w=(x-iy)(u+iv)= ux-iuy+ivx+vy$

$-(ux+iuy-ivx+vy)-(ux-iuy+ivx+vy)= -2ux-2vy$

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Fevereiro 16, 2008

Escrita matemática: limite

Arquivado em: Escrita Matemática — Américo Tavares @ 4:12 pm

$\lim_{x \to \infty} f(x)$

$\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)$

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Janeiro 13, 2008

Notação das Fracções Contínuas

Arquivado em: Escrita Matemática — Américo Tavares @ 10:00 am

$b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{n=1}^{\infty }\left( \frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =b_{0}+\frac{a_{1}}{b_{1}+}\frac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \frac{a_{n}}{b_{n}+}\cdots$

Desenvolvimento em fracção contínua da série $\zeta(3)$ .

$\zeta \left( 3\right) =\displaystyle\mathcal{K}_{n=1}^{\infty }\left( \frac{a_{n}}{b_{n}}\right) =\displaystyle\frac{6}{5-}\frac{1}{117-}\frac{64}{535-}\cdots \frac{n^{6}}{34n^{3}+51n^{2}+27n+5-}\cdots$

Notação: A enésima fracção reduzida, obtida cortando a fracção contínua pelos elementos $a_n,b_n$ , é uma expressão do tipo

$\displaystyle\frac{p_n}{q_n}=b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{ccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}\end{array}}}=b_{0}+\displaystyle\mathcal{K}_{j=1}^{n }\left( \frac{a_{j}}{b_{j}}\right) =b_{0}+\frac{a_{1}}{b_{1}+}\frac{a_{1}}{b_{1}+}\cdots \frac{a_{n}}{b_{n}}$ .

Os numeradores e denominadores das fracções reduzidas de ordem $n,n-1,n-2$ verificam:

$p_{n}=p_{n-1}b_{n}+p_{n-2}a_{n},$

$q_{n}=q_{n-1}b_{n}+q_{n-2}a_{n}.$

EXPERIÊNCIA DE ESCRITA

$b_0+\displaystyle\frac{a_1}{b_1+\displaystyle\frac{a_2}{\begin{array}{cccc}b_{2}+ & & \\& \ddots & & \\& & +\displaystyle\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}+\displaystyle\frac{a_{n}}{b_{n}}} & \\ & & & \ddots\end{array}}}$

Neste documento mostro como transformar as somas parciais da série $\zeta (n)$ em fracção contínua:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\displaystyle\frac{1}{k^n}=\displaystyle\frac{1}{1+K_{j=1}^{N}\left (\displaystyle\frac{-j^{2n}}{(j+1)^{n}+j^{n}}\right ) }$

pelo que

$\zeta (n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{k^n}=\displaystyle\frac{1}{1+K_{j=1}^{\infty}\left ( \displaystyle\frac{-j^{2n}}{(j+1)^{n}+j^{n}}\right ) }$

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Dezembro 9, 2007

Escrita Matemática

Arquivado em: Escrita Matemática — Américo Tavares @ 3:56 pm

Hello world!

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Escrita matemática (exemplos em LaTeX): a sintaxe é a seguinte

“$latex código-latex-da-fórmula$“

ou seja, os comandos do LaTeX, escritos entre dois $, antecedido por “latex”. Para uma Introdução ao LaTeX, ver em inglês, aqui.

A sintaxe é a indicada em

http://faq.wordpress.com/2007/02/18/can-i-put-math-or-equations-in-my-posts/ .

Exemplo 1: “$latex \displaystyle\frac{p}{q}$“ dá $\displaystyle\frac{p}{q}$

Exemplo 2: “$latex \left|\dbinom{V}{2}\right|=\dbinom{|V|}{2}$“ dá $\left|\dbinom{V}{2}\right|=\dbinom{|V|}{2}$

Exemplo 3: “$latex \log(1+t)=\displaystyle\frac{t|}{|1}+\frac{t|}{|2-t}+\frac{4t|}{|3-2t}+\frac{9t|}{|4-3t}+{\cdots}+\frac{n^{2}|}{|( n+1) -nt}+{\cdots}$” dá

$\log(1 + t)=\displaystyle\frac{t|}{|2 -t}+\frac{4t|}{|3 - 2t}+\frac{9t|}{|4 - 3t}+{\cdots}+{\frac{n^{2}|}{|(n + 1) - nt}}+{\cdots}$

Exemplo 4: “$latex \LaTeX&s=1$” dá

$\LaTeX$

Nota: s=1 significa \large.

Ver http://faq.wordpress.com/2007/02/18/can-i-put-math-or-equations-in-my-posts/

Exemplo 5: Com o código apropriado – “$latex \displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}$“ –, podemos escrever

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}$

Ver ainda SPM – Gazeta Nº 141, Matemática na Internet com o LaTex de D. F. Marado Torres

(disponível em Gazetaonline , em publicações no site da SPM: http://www.spm.pt/) .

Observações

Os símbolos e fórmulas indicadas foram aumentados para uma melhor leitura através dos comandos LaTeX

\displaystyle antes do comando da fracção (\frac{}{}), do somatório (\sum_{}^{})

\dbinom{}{} em vez do comando normal do coeficiente binomial (\binom{}{})

Retirando o comando \displaystyle e substituindo \dbinom{}{} por \binom{}{} fica

Exemplo 1: “$latex \frac{p}{q}$“ dá $\frac{p}{q}$

Exemplo 2: “$latex \left|\binom{V}{2}\right|=\binom{|V|}{2}$“ dá $\left|\binom{V}{2}\right|=\binom{|V|}{2}$

Exemplo 3: “$latex \log(1+t)=\frac{t|}{|1}+\frac{t|}{|2-t}+\frac{4t|}{|3-2t}+\frac{9t|}{|4-3t}+{\cdots}+\frac{n^{2}|}{|( n+1) -nt}+{\cdots}$” dá

$\log(1 + t)=\frac{t|}{|2 -t}+\frac{4t|}{|3 - 2t}+\frac{9t|}{|4 - 3t}+{\cdots}+{\frac{n^{2}|}{|(n + 1) - nt}}+{\cdots}$

Exemplo 4: “$latex \LaTeX&s=1$” dá

$\LaTeX$

Nota: s=1 significa \large.

Exemplo 5: Com o código apropriado – “$latex \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\binom{N}{k}\binom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\binom{2k}{k}}$“ –, podemos escrever

$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\binom{N}{k}\binom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\binom{2k}{k}}$

MATRIZES

Sobre o código $\LaTeX$ ver esta entrada

Para escrever as matrizes

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3\end{pmatrix}$ usa-se o seguinte código: ”$latex \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3\end{pmatrix}$”

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}$ , ”$latex \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3\end{pmatrix}$”

$\begin{pmatrix} 1 \\ -11\end{pmatrix}$ , “ $latex \begin{pmatrix} 1 \\ -11\end{pmatrix}$“

e o produto

$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3\end{pmatrix}$ $\times$ $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix} 1 \\ -11\end{pmatrix}$ ,

“$latex \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3\end{pmatrix}$” “ $latex \times $” “ $latex \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix}$” “ $latex =$” “ $latex \begin{pmatrix} 1 \\ -11\end{pmatrix}$“

ou apenas

“$latex \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ -2 & 4 & 3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -11\end{pmatrix}$“.

NOTAÇÃO

Fim de demonstração

$\blacksquare$

Fim da resolução de um problema ou exemplo

$\blacktriangleleft$

Início da explicação de um exemplo

$\blacktriangleright$

Factorial de $n$

$n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times \left( n-1\right) \times n$

Coeficiente binomial

$\displaystyle\dbinom{n}{k}=^{n}C_{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k\right) !}=\frac{n\left( n-1\right)\left( n-2\right) \cdots \left( n-k+1\right) }{k!}$

Parte inteira (maior inteiro menor ou igual a) de $x$

$\displaystyle\lfloor x \rfloor$

Somatório (uma soma com um número finito de parcelas)

$\displaystyle\sum_{i=m}^{n}a_{i}=\sum_{m\leq i\leq n}a_{i}= a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n}$

Função trigonométrica seno de x

$\text{sen}\; x$ ou $\sin x$

Inclusão (elemento de, pertence); exemplo: $x$ é real

$x\in\mathbb{R}$

Diferença entre; exemplos:

$F\left( x\right) |_{a}^{b}=F\left( b\right) -F\left( a\right)$

$a_{i}|_{m}^{n}=a_{n}-a_{m}$

Integral (ou Primitiva)

$\displaystyle\int$

CORES DO FUNDO E DAS LETRAS (SÍMBOLOS)

$\LaTeX$

EXEMPLOS:

(Os espaços a seguir e antes do $ só existem para efeitos de visualização dos códigos, mas não constam nos que geram os vários símbolos $\LaTeX$ da esquerda):