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Fevereiro 18, 2008

Integrais impróprios

Arquivado em: Uncategorized — Américo Tavares @ 2:47 pm

O integral de Riemann de uma função $f(x)$ , real de variável real, define-se só para o caso em que essa função integranda existe e é definida para $a\le x\le b$ , com $a$ e $b$ finitos:

$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx$

Nos chamados integrais impróprios não se verificam algumas destas condições.

Há três tipos de integrais impróprios:

Integrais impróprios de primeira espécie, se a função integranda $f(x)$ existe e é definida para $a\le x<+\infty$ , com $a$ finito ou então para $-\infty<x\le b$ , com $b$ finito:

$I=\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx=$ $\displaystyle\lim_{b\to +\infty}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \;dx$

Exemplo: $\displaystyle\int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x^3}\;dx$

$\displaystyle\int_{-\infty}^{b} f(x)\;dx=$ $\displaystyle\lim_{a\to -\infty}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \;dx$

Exemplo: $\displaystyle\int_{-\infty}^{0} \dfrac{1}{1+x^2}\;dx$ .

Integrais impróprios de segunda espécie, se a função integranda tiver uma singularidade no extremo inferior $a$ finito do intervalo de integração, mas para todo o $c>a$ existir o integral de Riemann de $f(x)$ para $c\le x \le b$ :

$I_1=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx=$ $\displaystyle\lim_{c\to a^+}\displaystyle\int_{c}^{b} f(x) \;dx$

Exemplo: $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{\log x}{1+x}\;dx$ ,

ou se a função integranda tiver uma singularidade no extremo superior $b$ finito do intervalo de integração, mas para todo o $c<b$ existir o integral de Riemann de $f(x)$ para $a\le x \le c$ :

$I_2=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx=$ $\displaystyle\lim_{c\to b^-}\displaystyle\int_{a}^{c} f(x) \;dx$ ;

Exemplo: $\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\;dx$ .

Integrais impróprios mistos, se forem simultaneamente de primeira e segunda espécie

Exemplo: $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1}{(1+x)\sqrt{x}}\;dx$ .

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Um integral impróprio diz-se convergente se o limite que o define existir e divergente no caso contrário.

À semelhança das séries existem critérios para determinar a convergência ou divergência de um dado integral impróprio partindo do conhecimento da convergência ou divergência de outro. A sua formulação para os integrais de primeira espécie é a dos dois teoremas seguintes. Para os de segunda espécie, os teoremas, com as correspondentes alterações, são igualmente válidos.

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Teorema (critério de comparação): Suponhamos que as funções integrandas $f(x)$ e $g(x)$ são nulas ou positivas; e

i. $f(x)\le g(x)$ para $x\ge c$ .

Então,

a) se $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx$ for convergente, $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx$ também é convergente;

b) se $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx$ for divergente, $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx$ também é divergente.

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Teorema (critério do limite): A – Suponhamos que as funções integrandas $f(x)$ e $g(x)$ são nulas ou positivas; e

i. $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$ , com $L$ finito.

Então, os dois integrais $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx$ e $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx$

são ambos convergentes ou divergentes.

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B – Suponhamos que as funções integrandas $f(x)$ e $g(x)$ são nulas ou positivas; e

ii. $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0$ ,

Então, se $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx$ for convergente, $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx$ é convergente.

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C – Finalmente, suponhamos que as funções integrandas $f(x)$ e $g(x)$ são nulas ou positivas; e

iii. $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{g(x)}=+\infty$ ,

Então, se $\displaystyle\displaystyle\int_{a}^{+\infty} g(x)\;dx$ for divergente, $\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx$ é divergente.

$\bigskip$

Para aplicação destes critérios é útil dispormos de alguns integrais de referência cuja convergência ou divergência conheçamos.

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$I=\displaystyle\int_{a}^{+\infty} f(x)\;dx$

Se $f(x)=\dfrac{1}{x^p}\qquad (a>0, p\le 1),\qquad I$ é divergente;
Se $f(x)=\dfrac{1}{x^p}\qquad (a>0, p>1),\qquad I$ é convergente;
Se $f(x)=\dfrac{1}{1+x}\qquad (a\ge 0),\qquad I$ é divergente;
Se $f(x)=x^{\alpha}\;e^{-x}\qquad (a>0\alpha\in\mathbb{R}),\qquad I$ é convergente;
Se $f(x)=\dfrac{1}{(\log x)^p}\qquad (a>1,p>0),\qquad I$ é divergente;
Se $f(x)=\dfrac{1}{x\;(\log x)^p}\qquad (a>1,p>1),\qquad I$ é convergente;
Se $f(x)=\dfrac{1}{x\;(\log x)^p}\qquad (a>1,p\le 1),\qquad I$ é divergente;

e para os integrais de segunda espécie com uma singularidade em $x=b$

$I_2=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx$

ou com uma singularidade em $x=a$

$I_1=\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\;dx$

Se $f(x)=\dfrac{1}{(b-x)^p}\qquad (0< p< 1),\qquad I_2$ é convergente;
Se $f(x)=\dfrac{1}{(b-x)^p}\qquad ( p\ge 1),\qquad I_2$ é divergente;
Se $f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^p}\qquad (0< p< 1),\qquad I_1$ é convergente;
Se $f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^p}\qquad ( p\ge 1),\qquad I_1$ é divergente;
Se $f(x)=\dfrac{\sin x}{x^p}\qquad (a=0,b=\dfrac{\pi}{2},p<2),\qquad I_1$ é convergente;
Se $f(x)=\dfrac{\sin x}{x^p}\qquad (a=0,b=\dfrac{\pi}{2},p\ge 2),\qquad I_1$ é divergente.